La conjetura abc nació durante una conversación entre los matemáticos David Masser y Joseph Oesterlé en 1985. Su nombre hace referencia a los protagonistas del enunciado, tres números a, b y c que cumplen a + b = c. Se pide además que no haya ningún número primo que divida al mismo tiempo a a y b (recordemos que los números primos son aquellos únicamente divisibles por 1 y por sí mismos, por ejemplo 3 o 5, pero no 6, que es el resultado de multiplicar 2 por 3). En una versión simplificada, la conjetura afirma que si a y b son ambos divisibles por grandes potencias de números primos, entonces c en general no lo es. A modo de ejemplo, la factorización de los números 360 y 539 contiene varios números primos repetidos, pero al sumarlos se obtiene 899 = 29 x 31, donde cada término aparece una sola vez. La versión precisa cuantifica el número de excepciones a este comportamiento general. Uno de los motivos por los que resulta tan inaccesible es que se mezclan la estructura aditiva y multiplicativa de los números naturales (0, 1, 2… aquellos que utilizamos para contar), cuya interacción entendemos muy mal.
A pesar de ser un problema relativamente joven en una disciplina donde muchas preguntas sin resolver cuentan con varios siglos de historia, la conjetura abc se convirtió en seguida en uno de los desafíos más populares de la teoría de números, quizá aquel con mejor relación entre la sencillez del enunciado y la importancia de sus consecuencias. Por citar una de ellas, la versión más fuerte de la conjetura abc implica inmediatamente que la ecuación xn + yn = znno tiene soluciones no triviales cuando n es mayor que 2, el llamadoúltimo teorema de Fermat. Con su resolución también se podrían hacer “efectivos” resultados como la conjetura de Mordell, que afirman que ciertas ecuaciones tienen un número finito de soluciones, pero no permiten decir cuántas ni cuál es su complejidad. Por eso Dorian Goldfeld, de la Universidad de Columbia, no dudó en calificarla como el problema sin resolver más importante de la disciplina.
El extraño caso de Shinichi Mochizuki
Tras varios intentos fallidos de demostración a lo largo de los años, un cierto desánimo parecía haberse instalado en la comunidad: la conjetura abc era, sencillamente, imposible. La situación dio un giro a finales de agosto de 2012, cuando el matemático japonés Shinichi Mochizuki (nacido en 1969) colgó en su página web una serie de cuatro artículos, bajo el título de “Inter-universal Teichmüller theory”, que culminaban con una supuesta demostración. El primero en darse cuenta fue uno de sus colegas del Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS) de Kyoto, Akio Tamagawa, que sabía que Mochizuki llevaba trabajando en el problema desde que su director de tesis le pidió, veinte años atrás, que demostrara una versión efectiva de la conjetura de Mordell; fue él quien, ese mismo día, mandó un e-mail a varios expertos anunciando la noticia. En principio, no había ninguna razón para dudar de Mochizuki, un matemático reconocido, que diez años antes había revolucionado una rama hasta entonces especulativa de las matemáticas (la geometría anabeliana) con un teorema tan profundo como inesperado.
La conjetura abc se convirtió en seguida en uno de los desafíos más populares de la teoría de números, quizá aquel con mejor relación entre la sencillez del enunciado y la importancia de sus consecuencias»
Sin embargo, los expertos no tardaron en darse cuenta de que se encontraban ante un caso único. En primer lugar, los artículos sumaban más de 500 páginas, que reposaban a su vez en otras 1.500 publicadas por el autor a lo largo de una década, a menudo en revistas menores, en las que el proceso de revisión es a priori menos fiable. Aun así, la extensión parecía un obstáculo mínimo al lado de la cantidad de conceptos nuevos, presentados siempre con la mayor generalidad posible, sin ejemplos que los motivaran. A lo que había que añadir una terminología completamente heterodoxa, en la que abundan palabras como “Frobenioide” o “teatro de Hodge”, en ocasiones para designar nociones estándar que se conocen bajo otro nombre. Nadie resumió mejor el desconcierto general que el teórico de números Jordan S. Ellenberg cuando en una entrada en su blog escribió que se sentía “como leyendo un artículo del futuro o del espacio exterior”.
Tampoco ayudó a facilitar la comprensión que Mochizuki rechazara todas las invitaciones a explicar su trabajo en el extranjero: a pesar de ser bilingüe en japonés y en inglés, no le gusta salir de Kyoto, aunque sí responde preguntas por e-mail y ha invitado a varios investigadores a visitarlo. Otra de sus razones es que estima que un matemático ya entrenado necesitaría al menos 500 horas para entender sus ideas, algo que no encaja en ninguno de los formatos habituales de actividades académicas. Todo ello hizo que la mayor parte de sus colegas se dieran por vencidos poco después del anuncio; hasta ahora, solo cuatro personas afirman haber entendido la prueba. En su último informe sobre los progresos de verificación, Mochizuki escribe –refiriéndose a la dificultad de comunicarse con los demás– que el estatus de su teoría dentro de las matemáticas “constituye una especie de miniatura fiel del estatus de las matemáticas puras dentro de la sociedad”.
El congreso de Oxford
Tres años después, la demostración sigue en el limbo… Con el objetivo de aunar esfuerzos para avanzar en la comprensión de las nuevas ideas, entre el 7 y el 11 de diciembre se organizó el congreso IUT theory of Shinichi Mochizuki en la Universidad de Oxford. La lista de participantes incluía a muchos de los grandes expertos de la teoría de números, aunque la mayoría prefirieron dejar en manos de los más jóvenes el trabajo de lectura y presentación de los artículos. Mochizuki, el gran ausente, respondió a sus preguntas en dos conversaciones por Skype. Pasadas dos semanas, las conclusiones son ambiguas. La mayoría de los participantes coinciden en que, durante las primeras sesiones –destinadas a cubrir los prerrequisitos–, hubo avances importantes. Por desgracia, una sensación de frustración general empezó a cundir a partir del cuarto día, cuando tres de las personas que han comprobado los detalles de la prueba empezaron a explicar la teoría de Mochizuki. En palabras de Brian Conrad, de la Universidad de Stanford, “nunca se produjo ese momento ¡ajá! que todos estaban esperando”.
Mochizuki cree que un matemático ya entrenado necesitaría al menos 500 horas para entender sus ideas»
Una etapa clave en la evaluación de un trabajo matemático consiste en identificar cuáles son las nuevas ideas y cómo se usan. En el caso de Mochizuki, todos los intentos han fracasado hasta la fecha. El propio autor ha reconocido que solo una pequeña parte de su “teoría de Teichmüller interuniversal” es necesaria para la demostración, pero no parece tener del todo claro cuál. Hay quien habla de “teorías que hemos nacido demasiado pronto para entender”. Tras un balance poco concluyente, un nuevo congreso tendrá lugar en Kioto en junio de 2016. Los más optimistas esperan avanzar otro pequeño paso, mientras que otros ya han abandonado: si Mochizuki no escribe un artículo que se entienda, puede que el asunto nunca llegue a resolverse.
